Las torres de Hanói es un rompecabezas matemático inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas que consta de tres postes y una serie de discos de diferentes tamaños insertados en uno de los postes. El propósito del rompecabezas es mover todos los discos a uno de los postes vacíos de forma que queden apilados preservando el orden inicial y siguiendo las siguientes reglas: 

1. Sólo se puede mover un disco a la vez.
2. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre un disco más pequeño que él mismo. 

Torres de Hanói con 6 discos

Existe también una leyenda del origen de este rompecabezas que cuenta que hace mucho tiempo, los monjes de un monasterio ubicado en la región de Hanói, Vietnam, se encontraban rezando a sus tres dioses: Brahma (el dios creador), Vishnu (el dios conservador) y Shiva (el dios destructor), ya que querían saber cuándo iba a ser destruido el mundo. 

En respuesta a sus plegarias, se apareció ante ellos el dios Brahma y les entregó una base con tres postes, los cuales eran de diamante y del grosor del aguijón de un avispón, en uno de ellos se encontraban apilados 64 discos de oro puro de diferentes tamaños, siendo el disco más pequeño el que se encontraba en la punta de la torre, después un disco más grande, y, así sucesivamente, hasta llegar a la base de la torre donde se encontraba el disco de mayor tamaño. Una vez que el dios Brahma se retiró, los monjes se preguntaban qué debían hacer con los discos, en ese momento se manifestó el dios Vishnu y les explicó las reglas que describimos al inicio. Los monjes se alegraron de saber lo que tenían que hacer y pensaron que si movían todos los discos de un poste al otro cumpliendo las reglas que les había sido explicadas, complacerían a sus dioses y estos les dirían cuándo se terminaría el mundo. Cuando estaban a punto de comenzar a mover los discos, hizo su aparición el dios Shiva y les dijo: ‘’cuando terminen de mover los 64 discos, en ese momento el mundo habrá terminado’’. Los monjes se llenaron de miedo, pues si no movían los discos, sus dioses se enfadarían con ellos y los castigarían, pero si terminaban de mover todos los discos, entonces el mundo llegaría a su fin. 

¡Qué difícil situación en la que se habían metido los monjes! Antes de comenzar a mover los discos, los monjes querían saber el tiempo exacto que le quedaba al mundo, así que pensaron que si conocían el número exacto de movimientos mínimos necesarios para mover todos los discos, entonces podrían calcular con certeza el tiempo que restaba para que el mundo terminara. Así, su gran pregunta era, ¿cuántos movimientos como mínimo se necesitan para mover todos los discos? 

Antes de dar una respuesta a la pregunta anterior, con la finalidad de ilustrar mejor la tarea que tenían los monjes, pensemos en una versión más pequeña del problema. Pongamos nombre a los postes, digamos que A y B son los postes que están vacíos. Al poste que tiene los discos antes de moverlos no lo nombraremos. Imaginemos que nuestra torre sólo tiene un disco: para mover la torre de un poste a otro necesitamos sólo un movimiento, naturalmente.

Si tenemos 2 discos en nuestra torre, necesitaremos 3 movimientos: movemos el primer disco al poste A (como lo hicimos cuando sólo teníamos un disco), movemos el segundo disco al poste B y, finalmente, movemos el primer disco al poste B, sencillo, ¿no? 

¿Y si tenemos 3 discos en la torre? Podemos mover los primeros dos discos al poste A repitiendo el mismo proceso que cuando teníamos sólo 2 discos (3 movimientos), el resultado se ve en la figura 3b. Luego movemos el tercer disco al poste B (un movimiento más) lo que nos lleva a la posición de la figura 3c. Por último, movemos los dos discos del poste A al poste B (3 movimientos más) como cuando se tenían 2 discos; dando el resultado final que se ve en la figura 3d. En total necesitamos 3+1+3 movimientos, es decir, un total de 7 movimientos. Este proceso de repetir lo que ya hicimos con anterioridad en matemáticas se conoce como recurrencia. 

Para nuestra siguiente observación recordemos que el símbolo 2^m significa elevar 2 a la potencia m (es decir, 2 multiplicado m veces por sí mismo, ej. 2²=2x2, 2³=2x2x2, etc.). Una relación interesante que se cumple en nuestro problema es la siguiente: en el caso de un disco el número de movimientos que necesitamos es 1 que es igual a 2¹-1, en el caso de 2 discos ocupamos 3 movimientos que es igual a 2²-1, y cuando tenemos 3 discos requerimos 7 movimientos, es decir, 2³-1. Continuando de forma recurrente, podemos verificar que si tenemos una torre con m discos, entonces necesitamos 2^m-1 movimientos como mínimo para mover todos ellos. 

En el caso del problema de los monjes, el número de movimientos mínimo que se ocupa para mover los 64 discos de un poste a otro es 2⁶⁴-1, es decir ¡necesitamos la impresionante cantidad de 18,446,744,073,709,551,615 movimientos! Veamos en cuánto tiempo podríamos terminar de mover todos los discos pensando que podemos mover un disco cada segundo sin interrupciones: sabemos que un minuto tiene 60 segundos, una hora consta de 3,600 segundos, un día contiene 86,400 segundos y un año se compone de 31,536,000 segundos; tomando en cuenta esto, ¡necesitaríamos alrededor de 584,942,417,355 años para poder mover todos los discos! O sea, ¡cerca de 585 mil millones de años! Para darnos una idea de la inmensidad de tiempo que es 585 mil millones de años, en comparación, la Tierra tiene alrededor de 5 mil millones de años, mientras que nuestro Universo posee aproximadamente 14 mil millones de años. No cabe duda que se requiere una cantidad inimaginable de tiempo para terminar de mover los 64 discos de las torres de Hanói originales. 

De acuerdo a la leyenda, los monjes comenzaron a mover los discos aliviados de conocer cuánto tiempo era el que necesitaban para terminar de mover toda la torre y sabiendo que podían dormir tranquilos, pues el mundo nunca terminaría durante su tiempo de vida, ni en el de las generaciones venideras. 

Saber más

Balbuena-Castellano, 2006. L. Las torres de Hanoi y el mandato de Brahma. SIGMA - Revista de Matemáticas, 28:83-94. 

http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_28/9_torres_hanoi.pdf

Danesi, M. 2004.The Liar Paradox and the Towers of Hanoi. The 10 Greatest Math Puzzles of all Time. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. 

Frabetti, C. 2015. Culebrón matemático. Diario El País, Sección El Juego de la Ciencia. 17 de julio de 2015.

*Naila Itzel Angelina Centeno Lic. en Físico-Matemáticas Naila Itzel Angelina Centeno es Técnica Académica en la Unidad de Docencia del Centro de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, Campus Morelia.

* Juan Bosco Frías Medina es egresado del Doctorado en Ciencias Matemáticas del Posgrado Conjunto en Ciencias Matemáticas UNAM-UMSNH, actualmente se encuentra realizando una estancia posdoctoral por parte del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México.