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En los cursos de matemáticas, el principal acercamiento que se tiene con el límite, al menos de manera formal, es en el curso de Cálculo Diferencial. Este concepto es pilar fundamental de una de las ramas de la matemática llamada «Análisis Matemático», a la vez que es referente en las construcciones de secuencias de números u otros objetos de manera infinita, a diferencia del Álgebra —asignatura que se imparte en escuelas de instrucción básica y que es causante de muchos dolores de cabeza—, que lo hace de manera finita. Sin embargo, este concepto no nació como tal, sino que fue desarrollándose de manera paulatina.
Arquímedes de Siracusa, el gran científico de la Edad Antigua, usó de manera informal este concepto cuando quiso calcular el área de un círculo. Lo hizo inscribiendo dentro de un círculo un polígono regular del cual fácilmente podía calcular su área. Se deduce fácilmente que el polígono al aumentar de manera considerada el número de lados, se «aproximaría» a un círculo y, por supuesto, al cálculo de su área.
En el siglo XVII, el francés Pierre de Fermat, con su método de calcular los máximos y mínimos de funciones y las tangentes de las curvas, dio pie junto con su paisano René Descartes, a la Geometría Analítica. Se considera que, con la publicación de la máxima obra de Descartes: La Géométrie, se dio nacimiento al análisis matemático. Por cierto, esta publicación fue catalogada como libro prohibido, pero esa es otra historia que posteriormente te contaré, por el momento, te adelanto que se tiene un ejemplar bajo resguardo en el Fondo Antiguo de la Biblioteca Pública de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Poco después, llegó la invención del cálculo dada por Isaac Newton, máximo exponente de la ciencia y orgullo del Reino Unido, quien tuvo disputas con el alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz por el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral, también con la Iglesia católica y con su compatriota el científico experimental, Robert Hooke. El siglo XVIII estuvo lleno de controversias, pues los científicos no se ponían de acuerdo en la definición de una función, pero en el siglo XIX llegó Bernhard Riemann, alemán que con su contribución de integral hizo estallar la cabeza, pero como esta historia está llena de paisanos, no podemos olvidar al padre del análisis matemático, Karl Weierstraß, a quien le debemos, por fin, una definición formal de límite.
Fuente: Elaboración propia.
¿Por qué no se aprende este concepto?
En realidad, hay muchos autores que se han dedicado a investigar por qué los alumnos no logran aprender el significado de este concepto, y es que su definición no es tan rica como el mismo concepto lo es, ni los aspectos cognitivos que se involucran.
Por ejemplo, los estudios de Cornu, señalan que los alumnos tienen «concepciones espontáneas personales», y es que llegan a confundir al límite como una frontera, un borde, una delimitación, una restricción, pero el límite de una función se refiere en matemáticas, a la cercanía entre un valor y un punto, sin llegar a tomar el valor del punto. Es decir, acercarse lo más posible, pero sin tocar al punto y aquí es donde toma sentido lo infinitesimal, porque podemos acercarnos al punto con pasos muy pero muy pequeños e infinitos, y esto es la base fundamental para conceptos posteriores como la derivada e integral.
Es el mismo Cornu quien nos menciona, que los obstáculos para aprender el límite también se transmiten al momento de enseñar el cálculo, y es que a veces el tiempo que se le destina a su enseñanza es reducido, por dar prioridad a las derivadas e integrales cuyas formas de calcularse pueden omitirse por límites, lo que ocasiona una disrupción cognitiva.
Para subsanar estas dificultades, muchos matemáticos educativos y personas encargadas de investigaciones educativas recientes que vinculan las teorías pedagógicas y didácticas con la matemática para que el alumno aprenda y tenga significado en su vida diaria, se han dado a la tarea de buscar estrategias adecuadas para que los alumnos logren tener las habilidades del Cálculo de Límites, pero entendiendo su significado, y es aquí donde la tecnología hace su aparición, ya que al vincular la tecnología con la teoría y con los conocimientos previos, permite al alumno tener una visualización de lo que se quiere lograr y aprender, así como el significado de algunos conceptos abstractos.
Como se mencionó anteriormente, Pierre de Fermat trabajó el problema de las tangentes que ahora podemos vincular al límite.
Si tomamos un punto próximo P en la curva y consideramos la línea de T a P, tal línea entonces se conoce como una línea secante. Si dejamos fijo el punto T, imaginemos que el punto P se mueve a lo largo de la curva hacia T, pero sin llegar a T. La línea secante TP rotará cada vez más cerca de la posición de la línea de la tangente en T y, si calculáramos la pendiente de esa línea tangente, obtendríamos la derivada. Entonces, ¿la derivada es un límite? Sí.
Pero si es más fácil graficándolo, ¿por qué tengo que hacer muchos procedimientos algebraicos para calcular el límite? Porque seguramente ya te percataste que no todo es posible graficar y algunos valores son muy difíciles de obtener a través de una gráfica.
Ahora bien, ¿por qué tenemos que aprender cálculo si con el álgebra me bastaba?
En realidad, no bastaba con el álgebra, porque si bien lograba resolver algunos problemas, en muchos casos no conseguía predecir el futuro.
Por ejemplo, si Juan tiene $ 1 000 pesos y se compra una playera en un concierto de Rock, pero por lo fuerte de la música no escuchó cuánto costaba, entonces es muy fácil responder a esta pregunta con una operación algebraica, teniendo en cuenta que el vendedor le devolvió $ 650 pesos.
Fuente: Elaboración propia.
Pero si se desea, por ejemplo, conocer la cantidad de conejos que tendría una granja que en un tiempo inicial t tiene una población de 1 000 conejos con una tasa de crecimiento de dos, lo que implicaría que la población se duplicaría al término de un año, entonces es necesario utilizar el cálculo, pues es de percatarse que el crecimiento de la población de conejos está en variación del tiempo. Pero no es que tenga que dedicarme a ser granjero y a pronosticar cuántos conejos podría llegar a tener, se trata de que en todo lo que tenga que ver con variaciones y pequeños cambios, el cálculo hace su aparición. Pues, como vemos, algunos pequeños cambios han llegado a causar un caos en nuestra vida cotidiana, y como buenos científicos que somos, buscamos tener el control, o al menos estimarlo, para muestra tenemos al COVID-19.
El cálculo ha tenido un significativo impacto, ya que gracias a él la tecnología se ha desarrollado de manera vertiginosa y ha hecho posible que puedas leer este artículo en tu dispositivo móvil con un procesador de vanguardia; que cuando enfermas y acudas a realizarte estudios clínicos, el químico farmacobiólogo haga uso del cálculo para hacer llegar el resultados a tu médico o para proponer un medicamento novedoso; que el ingeniero estime el peso máximo que puede ponerle a la losa de tu casa para que no sucumba o construya un tanque con el máximo volumen; o cómo hacer para que el auto de Checo Pérez, con un ligero cambio, sea más veloz.
Para saber más:
Cornu B. (1991). Limits. In: D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 153-166). Kluwer.
Cottrill J., Dubinsky E., Nichols D., Schwingendorf K., Thomas K. y Vidakovic D. (1996). Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process scheme. Journal of Mathematical Behavior, 15(2), pp. 167-192. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(96)90015-2
Rojas-Maldonado E.R. (2015). Secuencias didácticas para la enseñanza del concepto de límite en el cálculo. Revista Internacional de Aprendizaje En Ciencia, Matemáticas y Tecnología, 2(2), 63-76. http://funes.uniandes.edu.co/15392/1/Rojas2016Secuencias.pdf
Sierpinska A. (1985). Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, 6(1), 5-67. https://revue-rdm.com/1985/obstacles-epistemologiques/
Erick Radaí Rojas-Maldonado. Profesor en la Licenciatura en Biotecnología de la UMSNH y en el Colegio Primitivo y Nacional de San Nicolás de Hidalgo. Morelia, Michoacán.
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