Matemática y Música

Escrito por Arturo García Gómez

Es probable que ya hayan escuchado anteriormente sobre la relación entre la matemática y la música. Comúnmente esta relación se ejemplifica con la música del compositor alemán del siglo XVIII Juan Sebastián Bach, aunque cabe aclarar que Bach no se basó en la matemática para componer sus obras; existe una gran diferencia entre la matemática implícita en la música descubierta por el musicólogo y la composición musical basada en la matemática.

Para la mayoría del público es difícil imaginar una música creada a partir de la matemática, ya que ésta comúnmente no se escucha en la radio debido a su impopularidad. Este poco interés o antipatía hacia esta música se debe a la dificultad en su apreciación, ya que resulta incomprensible e irreconocible para el oído.

Para que la música sea entendida y apreciada, es necesario que se reconozca; es decir, que la consciencia identifique lo ya antes escuchado y se anticipe en el reconocimiento de las entonaciones que siguen en el proceso mismo de la escucha. Si se quiere que estas entonaciones sean reconocibles y anticipadas, es preciso que partan de las necesidades psíquicas del escucha y no del interés matemático o científico del compositor, apartado del mundo anímico de la sociedad que le rodea.

Sin embargo, esto no significa que la relación entre la matemática y la música sea conflictiva. Al igual que en todos los fenómenos de la naturaleza, la matemática se descubre en la estructura armónica y temporal de la música, aunque su creación no se base en ésta. La matemática existe de hecho en estas dos dimensiones fundamentales de la música.

Las proporciones matemáticas de la obra musical en el tiempo, es decir, en su forma temporal, se descubren por medio de la representación visual en la partitura. Se trata de la proporción áurea, o divina proporción, que plantea un problema geométrico entre dos longitudes desiguales en una recta, de forma que al dividir la longitud total entre la longitud mayor, ésta resulte igual a la división de la mayor entre la longitud menor, implicando un número irracional redondeado a 1.618033.

El matemático griego Euclides (ca. 300-265 a. C.) fue el primero que planteó este problema en el sexto libro de sus Elementos. En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publicó en su obra De Divina Proportione, cinco razones por las que consideró a este número como divino. La proporción áurea se utilizó conscientemente en la arquitectura y en la pintura renacentista como principio de la belleza. Prueba de ello es el tratado del artista alemán Alberto Durero (1471-1528), Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas de 1525, en el que describe la “espiral áurea” conocida como “espiral de Durero”.

Pero la utilización consciente de la proporción áurea en la música es mucho más reciente. No obstante su descubrimiento en la estructura de la forma sonata de los compositores clásicos y románticos, en donde en el clímax o punto álgido de la obra coincide con la proporción áurea, su presencia es solo una coincidencia, ya que fue creada de manera inconsciente y no representa la intención original de los compositores analizados.

En el caso de la estructura armónica, que es la relación proporcional numérica entre sonidos simultáneos o sucesivos, la relación entre matemática y música tienen una tradición milenaria. Ésta se remonta al origen mismo de la filosofía griega en el siglo VI a. C., con Pitágoras. A través de la obra del matemático del siglo II d. C., Nicómaco de Gerasa, titulada Manual de armónicos, se conoce la célebre leyenda de cómo Pitágoras comprobó las proporciones numéricas en las consonancias de la música. Un día –nos cuenta Nicómaco—, Pitágoras se paseaba completamente abandonado a sus reflexiones. Al pasar por una coincidencia providencial frente al taller de un herrero, escuchó tres distintos martillos de hierro sobre el yunque que daban en desorden unos sonidos perfectamente consonantes entre ellos. Pitágoras reconoció entre estos sonidos las consonancias del diapasón (octava), el diapente (quinta), y el diatesarón (cuarta).

Estas tres consonancias (la producción simultánea de dos sonidos, o en sucesión inmediata) son fundamentales para la música europea y evidentemente para toda la cultura musical de occidente a lo largo su historia. Las tres consonancias determinan la estructura del sistema armónico actual, sobre el cual se basa prácticamente toda la música occidental desde hace ya varios siglos.

La consonancia del diapasón, conocida actualmente como octava, representa una relación matemática de ½. Esto significa que al dividir por la mitad cualquier objeto sonoro, ya sea una cuerda o un trozo de madera o metal, aquella mitad producirá, al golpearla o frotarla, un sonido que el oído reconoce como algo muy similar al que produce el total del objeto sonoro. Esta similitud es precisamente de ½ en términos matemáticos y en términos musicales se le conoce como octava, debido al número de sonidos intermedios que existen entre estos dos sonidos similares dentro del sistema armónico actual. Por ejemplo: Do,1 re, mi, fa, sol, la, si, do,2 constituyen una relación de octava (Do1 — do2).

Lo mismo sucede con la consonancia del diapente o quinta, y del diatesarón o cuarta. El diapente tiene una relación matemática de 1/3, y se le llama quinta por el número de sonidos intermedios que hay en esta relación de sonidos. Dentro del sistema armónico tonal se le conoce también como dominante, debido al rol que juega este tono dentro del sistema. El diatesarón tiene una relación matemática de 1/5, y además de los cuatro sonidos que existen al interior de esta relación por lo cual se le llama cuarta, se le conoce también como subdominante por su función armónica.

En casa se pueden comprobar estas proporciones matemático-musicales mediante un experimento muy sencillo. Se realiza con vasos o copas de vidrio del mismo tamaño. En uno de los recipientes se vierte líquido casi hasta llenarlo, y en otro se vierte la mitad del mismo. Al golpearlos con una cuchara se podrá percibir la diferencia entre estos dos sonidos, muy similares por cierto, como si uno fuera la copia del otro pero en un rango reducido. Esto es la octava, que en términos matemáticos es un medio.

La quinta y la cuarta son más difíciles de realizar, pero con un buen oído se puede hacer incluso toda una escala, como si fuera un instrumento musical. Este instrumento se ilustra magistralmente en una escena del film E la nave va de Federico Fellini, en la que se muestra cómo dos de los críticos del bel canto construyen en la cocina del barco un carrillón con copas, interpretando el Momento Musical Nº 3 en fa menor de Franz Schubert.

Dr. Arturo García Gómez, investigador de la Escuela Popular de Bellas Artes, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.

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