La idea de la simetría ha estado presente en la humanidad desde sus mismos orígenes. Una vez satisfechas las necesidades básicas de supervivencia, el hombre comenzó a buscar la belleza en sus elementos y la simetría ha jugado un papel primordial en este sentido.

Las construcciones en Egipto, Grecia, Medio Oriente, India y China, muestran ejemplos concretos de la presencia de la simetría en las creaciones humanas. Si a esto agregamos que, de manera natural, la naturaleza ofrece simetrías excepcionales, no es de sorprenderse que el papel de la simetría en el desarrollo de la humanidad haya sido y siga siendo primordial.

Por supuesto, la matemática no queda fuera de este desarrollo y de manera natural la idea de simetría se presenta en muchas facetas, muchas de ellas en nuestra vida cotidiana. Pensemos por un momento en un cuadrado de papel. Desde muy temprano en nuestra educación básica nos enseñan que éste tiene varios ejes de simetría. Por ejemplo, si doblamos el papel por la mitad, de tal forma que los lados opuestos coincidan, el doblez marca uno de estos ejes; si ahora doblamos el papel de tal forma que coincidan dos esquinas opuestas del cuadrado, obtenemos otro de estos ejes. Si uno repite estos dos procedimientos de todas las maneras posibles, podemos ver que el cuadrado de papel tiene 4 ejes de simetría y que éstos son todos los posibles (ver Figura 1).

Matemáticamente hablando, estos ejes de simetría se llaman líneas de reflexión, pues si imaginamos que estas líneas son un espejo, precisamente los puntos simétricos con respecto a esta línea, es decir, aquellos que se sobreponen al hacer el doblez, son reflejados uno del otro.

Tradicionalmente en el desarrollo de las matemáticas, la palabra simetría se ha usado para referirse a cierta transformación de un objeto que preserva determinada estructura global. En el caso de nuestro cuadrado de papel, dicha estructura global es su forma.

Entonces entenderemos por simetría de una estructura geométrica, como nuestro cuadrado de papel, cualquier transformación del mismo, que preserve su forma. Intuitivamente una simetría es un movimiento de nuestro objeto que, si le pedimos a alguien que vea nuestra figura, cierre los ojos mientras le aplicamos la simetría y luego vuelva a ver la figura, no sea capaz de decir si le hicimos algo o no.

Además de las reflexiones, nuestro cuadrado de papel tiene otras simetrías. Si ponemos una tachuela (clavo corto) justo en el centro del cuadrado, donde todos los ejes de reflexión se cruzan, entonces podemos rotar nuestro cuadrado un cuarto de vuelta alrededor de la tachuela. Esta simetría se llama rotación. Además del cuarto de vuelta también podemos girar media vuelta, tres cuartos de vuelta, y finalmente, una vuelta completa, regresando cada punto a su lugar original.

Simetrías similares a la del cuadrado aparecen en muchos lados. Por ejemplo, un reloj tiene de manera natural una simetría con 12 ejes de reflexión que se cruzan en el centro. En la arquitectura y la naturaleza se puede observar también este tipo de simetría (Figuras 2 y 3).

Este tipo de simetría se caracteriza por tener un punto kaleidoscópico, es decir, un punto donde todos los ejes de reflexión coinciden. Si nuestra figura tiene un número ilimitado de ejes (n) de reflexión, entonces también tiene una rotación de 1/n vueltas alrededor del punto kaleidoscópico. Por ejemplo, en nuestro cuadrado tenemos 4 ejes de reflexión y rotaciones de un 1/4 de vuelta alrededor del centro. A este tipo de simetría la denotaremos por *n, donde n es el número de ejes de reflexión que cruzan por el punto kaleidoskópico. Así, por ejemplo, el cuadrado tiene simetría *4, el reloj *12 y la estrella de mar *5.

Quizá una clase de simetría más sencilla y bastante más popular, es aquella que consta únicamente de una reflexión. Este tipo de simetría también es muy popular en la naturaleza (Figura 4), así como en la arquitectura. A este tipo de simetría simplemente la denotaremos por *.

Sin embargo, existen figuras que se pueden rotar pero que no tienen líneas de reflexión. Este tipo de simetría ha sido ampliamente explotada en la arquitectura, por ejemplo, aparece en el Duomo de Milán de manera abundante (Figura 5). También la podemos encontrar en el marco del reloj de la Catedral de Morelia (Figura 6). En la naturaleza aparece también en algunas flores (Figura 7).

La simetría rotacional tiene la característica de tener un centro, el cual llamaremos punto giroscópico. Observe que la diferencia con los puntos kaleidoscópicos es la presencia de ejes de reflexión. A esta simetría la denotaremos simplemente por n, siempre que la rotación alrededor de ese punto sea de 1/n vueltas. Por ejemplo, en la Figura 5 tenemos rotación de un quinto (1/5), por lo tanto, el tipo de simetría es 5.

Observe que las simetrías de tipo * dejan fija todo el eje de reflexión, es decir, ningún punto de este eje se mueve cuando uno ve la simetría. En el caso de las simetrías de tipo *n y n, los puntos kaleidoscópicos y giroscópicos se quedan fijos siempre. En otras palabras, todos los tipos de simetrías mencionados hasta ahora tienen un punto fijo.

Lo interesante de esta discusión es que cualquier figura plana que tenga un punto fijo, va a tener alguno de estos tipos de simetría. Es decir, que si nos fijamos en una figura o en un diseño y pensamos que es plano, como una fotografía o un dibujo, muy probablemente va a tener alguna de las simetrías aquí mencionadas. Este es un hecho bien conocido por los matemáticos desde hace varios siglos, pero si te interesa indagar más al respecto te recomiendo.  Así que ¿Qué esperas?, ¡A buscar todas las simetrías a tu alrededor!

Para Saber Más:

Bracho, Javier. Introducción analítica a las geometrías. Fondo de Cultura Económica, 2009. México.

Conway, John H., Burgiel, Heidi y Goodman-Strauss, Chaim. The symmetries of things. A K Peters Ltd, 2008. Wellwsley, MA, USA.

José Antonio Montero Aguilar es estudiante de Doctorado del Centro de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma México.